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资源说明：Ruszczy ´nski, A. , & Shapiro, A. (2006). Optimization of convex risk functions. Mathe- matics of Operations Research, 31 , 433–452 .
在《优化凸风险函数》这篇论文中，作者Andrzej Ruszczyński和Alexander Shapiro探讨了在概率描述的不确定结果比较中的决策理论核心——风险函数的优化问题。他们利用向量空间中凸分析和优化理论的技术，发展了新的风险模型表示定理、涉及风险函数问题的最优性和对偶性理论。
风险函数是衡量不确定结果风险的一种工具，它将一个不确定的结果X映射到实数值ρ(X)。在这个背景下，如果X的值越小，那么结果越好，例如，X可以代表不确定的成本。论文的目的是通过探索风险模型与优化理论之间的关系，来推动这一研究方向的发展。
文章设定Ω为一个可测空间，不确定结果由从Ω到R的函数X表示。为了使风险函数的概念具体化并获得有意义的结果，定义允许的不确定结果的空间X以及考虑的风险函数类ρ(·)至关重要。这里假设Ω是一个带有σ-代数F的可测空间，X是一个F-可测函数的线性空间，这些函数将Ω映射到R。
论文重点关注的是凸风险函数，这是因为凸函数具有许多吸引人的性质，如局部性和全局性的统一，这使得在优化问题中更容易找到全局最优解。作者探讨了如何在这样的函数空间中定义和限制风险函数，以确保它们能够合理地评估不确定性。
论文的主要贡献包括：
1. 风险模型的新表示定理：通过凸分析方法，作者给出了风险模型的新型表示，这可能有助于更直观地理解风险的结构和特性。
2. 优化理论：对于涉及风险函数的问题，作者建立了一套最优性理论，这包括寻找满足特定条件的最优解的方法。
3. 对偶性理论：在优化问题中，对偶性理论是非常重要的，因为它提供了原问题和对偶问题之间的联系，常常可以简化计算并提供解的性质。作者展示了如何在风险函数的背景下建立这种对偶性。
4. 意义丰富的概念：除了凸风险函数的基本理论，论文还讨论了如期望效用理论、随机排序和均值-方差模型等概念，这些都是在不确定结果比较中常用的工具。
通过这些理论和方法，决策者可以更好地评估和比较不同选择的潜在风险，从而做出更为明智的决策。这不仅适用于传统的经济和金融领域，还可以扩展到工程、运营管理和风险管理等多个领域。
《优化凸风险函数》是风险管理与优化理论领域的一篇重要文献，它为理解和解决实际问题提供了理论基础和新的分析工具。通过深入理解和应用这些理论，我们可以更有效地处理现实世界中的不确定性和风险。
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