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Positive finite-time stabilization for discrete-time linear systems
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资源说明：正有限时间稳定性的研究对于离散时间线性系统具有重要的理论与实际意义。本文探讨了一种新的稳定性概念——正有限时间稳定（Positive Finite-Time Stability，PFTS），并将其应用于离散时间线性系统中。与以往的有限时间稳定性（FTS）相关文献不同，本文不仅要求初始状态，而且要求状态轨迹位于欧几里得空间的非负象限。文中建立了一系列针对未受迫系统PFTS的测试标准，并提出了一个充分条件，用于设计状态反馈控制器，以使得闭环系统正有限时间稳定。这一条件以一系列带有等式约束的线性矩阵不等式（LMIs）的形式给出。同时，还考虑了控制器非负性的要求。通过两个例子来阐述理论的运用，并说明控制器设计。
在学术研究的背景下，正有限时间稳定性的概念可以被看作是对于Lyapunov渐近稳定性（Lyapunov Asymptotic Stability，LAS）的一个补充。LAS关注的是系统在足够长时间间隔内的渐近行为，而FTS则关注在指定有限时间间隔内状态轨迹的特定领域。如果一个系统在给定时间区间内受到限制，并且给定初始条件的界限，在这段时间内系统状态不会超出某个特定领域，那么这个系统就是有限时间稳定的。需要强调的是，LAS和FTS是两个独立的概念。实际上，一个系统可能是渐近稳定的，但在指定的时间间隔内，其状态轨迹可能会超出给定的领域。另外，一个系统可能是有限时间稳定的，但其状态可能不会渐近收敛至零。
在过去的几十年中，有限时间稳定（FTS）的研究受到了研究者的广泛关注。对于线性系统的FTS分析与综合问题，许多研究人员已经做了大量的工作。FTS分析关注的是系统在有限时间内的稳定行为，尤其是在控制系统设计中，能够确保在有限时间内系统达到或保持在某个期望的状态，这对于提高系统响应速度和精确度具有重要意义。
在本文中，作者对正有限时间稳定性（PFTS）给出了定义，并针对离散时间线性系统提出了研究。作者首先讨论了未受迫系统PFTS的测试准则，然后给出了闭环系统正有限时间稳定的充分条件。这些条件通过线性矩阵不等式（LMIs）来表示，LMIs是解决线性系统稳定性和控制器设计问题的一个常用工具。LMIs的优势在于它们可以转化为线性规划问题，从而利用现有的优化算法进行求解。
在控制理论中，状态反馈控制器的设计是一个核心问题。本文提出的正有限时间稳定的状态反馈控制器设计方法，考虑了控制器本身必须非负的要求，这在某些应用场合是必要的，比如在涉及资源分配、人口动态、生态系统管理等领域的控制系统设计中。这样的设计要求可以保证控制器在物理意义上是可行的，并且对系统的正向发展起到积极的作用。
为了证实理论的可行性和有效性，本文给出了两个例子。这些例子展示了如何应用文中提出的方法进行系统分析和控制器设计。通过具体的应用实例，读者可以更直观地理解正有限时间稳定性的概念，以及如何在实际问题中应用这些理论知识。
本文对离散时间线性系统中正有限时间稳定性的研究，不仅为线性系统控制理论提供了新的研究方向，也为工程实践提供了新的设计方法和工具。通过对PFTS的深入研究和控制器设计，能够使得线性系统在有限时间内达到期望的稳定状态，为高精度和快速响应的控制系统设计提供了新的思路。
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