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An iterative frequency-sweeping approach for stability analysis of linear systems with multiple delays, IMA Journal of Mathematical Control and Information
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资源说明：### 关于线性系统多延迟稳定性的迭代频域扫描方法的研究
#### 摘要与背景
本文介绍了一种用于分析具有多个（不等时）延迟的线性系统稳定性的迭代频域扫描方法。该方法扩展了最近提出的一种频率扫描技术，并将其应用于更复杂的多延迟场景。文章首先讨论了一个特定情况下只有一个延迟参数是自由变化的，而其他参数保持固定的情况。通过证明一个适当的不变性属性，可以系统地探究关于自由变化延迟参数的完全稳定性。接下来，提出了一个迭代的频率扫描方法来分析任何给定多延迟情况下的稳定性。此外，还可以有效地分析每个延迟参数下临界虚根的渐近行为，为通过调整延迟参数来稳定系统提供了可能性。该方法简单直观（图形测试），并可以系统地应用于包括多个延迟的线性系统的稳定性分析。通过多个数值例子来完成整个演示。
#### 研究内容概述
**1. 延迟系统简介**
在本研究中，考虑以下形式的线性时间延迟系统，其中包含多个延迟参数：
\[ \dot{x}(t) = Ax(t) + \sum_{\ell=1}^{L} B_\ell x(t - \tau_\ell) \]
其中 \( A \) 和 \( B_\ell \) 是具有兼容维度的常数矩阵；\( \tau_\ell \geq 0, \ell = 1, \ldots, L \)，是独立的延迟参数，\( L \) 表示延迟参数的数量。延迟组合可以通过向量 \( \vec{\tau} = (\tau_1, \ldots, \tau_L) \) 来表示。
**2. 单一自由延迟参数情况**
文章首先关注其中一个延迟参数是自由变化的，而其他参数固定的特殊情况。为了全面了解这个自由变化的延迟参数对系统稳定性的影响，作者证明了一个关键的不变性属性。这个属性确保了当其他参数固定时，系统关于这个自由变化参数的稳定性可以被系统地探索。
**3. 迭代频率扫描方法**
对于任意给定的多延迟情况，作者提出了一种迭代的频率扫描方法来分析稳定性。这种方法能够有效地处理复杂系统中的多延迟问题。通过逐步迭代，可以系统地识别出不同延迟参数组合下的稳定性边界，从而有助于深入理解系统的稳定性特性。
**4. 临界虚根的渐近行为分析**
为了进一步优化系统的稳定性，文章还探讨了每个延迟参数下临界虚根的渐近行为。这有助于理解当调整特定延迟参数时，系统稳定性会发生怎样的变化。基于这些分析结果，可以通过调整延迟参数来设计更稳定的系统。
**5. 方法的应用与优势**
所提出的迭代频率扫描方法不仅简单直观，而且适用于多种多延迟线性系统的稳定性分析。该方法的优势在于它提供了一种系统的方法来识别稳定性边界，同时还能揭示通过调整延迟参数来改善系统稳定性的可能性。
**6. 数值实验**
为了验证所提方法的有效性和实用性，文章最后给出了多个数值例子。这些例子展示了如何应用迭代频率扫描方法来分析不同配置下的系统稳定性，同时也验证了该方法在实际应用中的可行性和有效性。
#### 结论
本文提出了一种新的迭代频率扫描方法，用于分析具有多个延迟的线性系统的稳定性。通过对单一自由变化的延迟参数的特殊情况以及任意给定多延迟情况的深入研究，该方法能够有效地识别系统的稳定性边界，并提供了通过调整延迟参数来优化系统稳定性的可能性。通过理论分析和数值实验，本文充分展示了该方法的优势及其在实际应用中的潜力。
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